有一年，我与几位北大的同学一起参加学校的招生活动. 途中这几位同学在讨论自己学习的高等数学时, 都感叹确实是很难. 当时一位经济学院的学生突然站出来, 很骄傲地告诉大家他正在参加数学学院的双学位学习, 其中数学分析课程比大家的高等数学难太多太多. “什么? 你敢去学数学学院的数学分析?" 在同伴们的赞叹声中, 这位经济学院的同学露出一副满意的笑容. 作为一位长期从事数学分析教学工作的教师, 看到这一场景不禁有些莞尔. 双学位的数学分析怎么是数学学院的数学分析了? 二者之间不论从课程难度和训练效果都差得太远了吧? 另一方面我也有些疑惑, 数学分析在这些北大同学的眼里怎么就变得那么神秘, 那么“高大上" 了? 我自己当年由于条件限制, 基本是通过自学学习的数学分析, 怎么今天就变得高不可攀了? 这以后我就产生了一个想法, 能不能为这许许多多不是数学专业的同学写一本故事化一点, 平易近人, 大白话多一些, 能够自学的数学分析呢? 能不能写本书让数学分析平民化一点, 门槛低一点, 话啰唆一点, 多几句评论、说明、解释, 让数学分析不是那么“高大上", 那么让人害怕, 让更多的人有机会学习一点数学分析. 我将这一想法给曾经长期合作的北京大学出版社编辑潘丽娜老师讲了讲, 得到了充分的鼓励和肯定. 谢谢小潘老师. 好吧, 那就来试一试.在我们现在的教学体制下, 大学的多数同学在学校学习的都是高等数学, 只有很少的一部分同学, 例如数学、力学、信息科学专业的学生学习的是数学分析. 在这些学习高等数学的同学里面, 有许多同学在学习期间, 甚至大学毕业几年之后, 都希望了解一点数学分析, 希望知道数学系的同学学习的是什么样的高深数学. 然而数学分析开始时的Dedekind 分割、极限理论的七大定理等等就让许多人望而却步了. 这些东西都在讲什么呢? 我曾经教过的一位同学, 在学习了半个学期后, 十分感慨地评论: 数学分析太“变态" 了, 就是不断在用一些十分显而易见的事去证明另一些显而易见的事. 半个学期就讲了一件事: “从直线左边走到右边必须经过直线上的点." 就这点事还把人讲得糊里糊涂, 考得稀里哗啦. 是的, “从直线左边走到右边必须经过直线上的点" 就是不容易讲清楚, 要将这句话转换为能够进行严谨逻辑推理的数学语言, 打造成建立整个微积分的基础, 构造出各种强有力的数学工具就更难了.不能否认, 数学分析就是一门非常难的课程. 一个人要通过这门课程的学习,掌握数学的基础知识, 对思维方式进行潜移默化的改造, 达到提升抽象思维能力、逻辑推理能力、计算能力的良好效果, 不经过严格训练, 没有\"-± 语言" 的反复折磨, 又怎么可能呢? 特别地, 按照这样的要求, 要写一本多数人能够接受, 方便自学,认真阅读后能够有收获的数学分析教材显然是件知易行难的事, 需要面对的是各种学习过或者没有学习过不同层次高等数学的同学, 需要面对他们深入学习或者浅尝即可的不同学习目的, 需要面对的太多太多. 怎样解决这些问题呢? 在本书中, 我们主要做了下面几个方面的工作.第一, 尽可能将书写得故事化一点, 大白话多一点, 语言平易一点, 增强书的可读性, 降低进入的门槛. 本书从数学分析发展简史开始, 用故事来说明数学分析当时讨论的问题、遇到的困难, 以及解决这些困难的方法, 说明极限和实数理论产生的原因, 以及这些理论在数学分析中的作用. 我们用Euclid 的故事和他的公理化方法引入实数理论, 而将Dedekind 分割仅仅作为实数公理的一个模型, 并且强调以后不会再用到. 希望读者能够比较自然地接受实数的确界原理, 免去开始时学习Dedekind 分割的困难以及其中十分烦琐的定义和推导. 另一方面, 我们将确界原理贯穿于一元微积分的始终, 将连续函数的三大定理、Lagrange 微分中值定理和Newton-Leibniz 公式等等微积分的主要结论都作为确界原理的等价表述, 帮助读者理解严谨的数学分析里每一个重要成果都离不开确界原理, 因而需要重视实数理论. 当然这样做必然会使得许多故事与史实和人物并不完全符合, 甚至出现错误. 所以这里再一次强调我们是以故事的形式在表述, 希望同学学习时能够多一点了解, 得到些启示, 不论实数理论, 还是Riemann 积分等的产生和发展过程都不能从史实上保证其完全准确.第二, 保证内容的基本完整和章节的相对独立. 我们是按照北京大学数学科学学院数学分析课程的基本要求和框架来安排本书内容的, 并且初稿也多次在数学科学学院和信息科学技术学院数学分析课程的教学实践中实际使用, 书中的许多习题也是实际教学时的考试试题. 我们希望通过内容的基本完整, 帮助有需要的读者全面了解和学习数学分析. 当然, 为了保证自学的不同需求, 我们也将各章节安排得尽可能独立一些, 在每章开始的地方交代清楚这一章需要用到前面章节的哪些基本结论. 同时, 我们将书中所有定理分类为由相关定义直接推出的, 以及依赖于实数理论的. 希望帮助读者区分局部与整体, 掌握前后关系. 我期待这样做能使得读者即使跳过其中的一些章节也不影响阅读整本书. 当然, 为了这个目的, 我们不得不多次重复相同的故事, 多次表述同一个定义、同一个定理. 但按照数学分析的重点、难点需要通过多次强调, 不断重复和反复应用来掌握的实际情况, 这样的安排也是需要的.第三, 突出重点, 保证本书的完全自洽与高度严谨. 我们在实数公理的基础上,从Archimedes 原理开始, 所有的结论都经过严格的逻辑推理. 希望读者能够从中理解和掌握高等数学与数学分析的差异, 能够通过不断地模仿和重复各种定义以及定理的表述和证明, 得到较好的数学训练. 而另一方面, 我们将单调有界收敛定理和Cauchy 准则突出于各种不同极限的收敛问题中, 希望借此帮助读者理解"-± 只是一种形式语言, 需要实数理论来提供强有力的支撑.第四, 对重点和难点尽可能多次强调, 不断重复和反复应用. 本书的目的不是要将数学分析变得简单易学, 能够轻松掌握. 相反地, 数学分析不仅仅是知识学习,更重要的是训练, 是逻辑推理能力、抽象思维能力和计算能力的培养, 不是教会你怎么算微分、积分就够了. 数学分析的学习应该注重数学思维的培养、严谨逻辑的训练, 注重提高学习能力. 特别是希望通过阅读本书自学的同学, 这一点就更重要了. 可是知易行难啊, 学习的过程中怎样达到训练的效果呢? 我常常这样想, 一个专业的乒乓球运动员为了掌握某一种技能并将其用到实战中, 需要小心地纠正动作,千万次地重复, 不断地实践, 思维和逻辑训练难道不也应该这样吗? 大多数同学都需要在无数次“因为……所以…… " “如果…… 则…… 否则…… " “对于任 意一个……存在一个…… 使得对于任意一个……”重复中将逻辑推理严谨、条件使用充分、语言表达准确转换为思维的本能. 因此, “重点强调、不断重复、反复应用" 必须贯穿在数学分析的整个学习过程中, 只有这样才能得到足够的逻辑训练, 理解和掌握数学分析中的重点、难点.书中部分内容标了¤, 阅读时可以跳过.本书的初稿多次在北京大学数学科学学院和信息科学技术学院数学分析课程的实际教学中使用, 许多同学对其中不容易理解的地方和错误提出了很多宝贵的意见和想法, 其中有同学不辞辛苦, 在初稿中标明了许多他们发现的错误和改进意见,这里一并致谢.对于读者, 我最后还想说一点. 数学分析是一门非常强调能力培养的课程, 特别是其中的学习能力. 如果你能够通过自己阅读完美地掌握数学分析, 恭喜你, 你的能力足以保证你学好任何其他课程. 为了你的素质训练, 来试一试, 挑战自我, 读一读数学分析吧. 希望我们的书对你有帮助. 谭小江 2022 年1 月