第二版前言这次对本书的修订主要在以下几个方面： 1. 更加鲜明地突出了“线性代数”课程的主线： 研究线性空间的结构及其线性映射.几何空间（以定点O为起点的所有向量组成的集合）对于向量的加法和数量乘法构成实数域R上的3维线性空间.研究n维线性空间的动力之一是： 在解线性方程组的时候，我们希望从线性方程组的系数和常数项直接判断线性方程组有没有解，有多少解.由于数域K上n元线性方程组的每个解（如果存在的话）是K中n个数组成的有序数组，因此我们需要研究数域K上所有n元有序数组组成的集合Kn的结构.为此，在Kn中规定有序数组的加法和数量乘法，它们满足加法交换律、结合律等8条运算法则（几何空间中向量的加法与数量乘法也满足8条运算法则），于是把Kn称为数域K上的n维向量空间.通过研究Kn的结构，我们得到： 数域K上n元线性方程组有解的充要条件是它的增广矩阵与系数矩阵有相等的秩，并且当有解时，若n元线性方程组的系数矩阵A的秩等于n，则该方程组有唯一解；若系数矩阵A的秩小于n，则该方程组有无穷多个解.进一步，我们研究数域K上n元齐次线性方程组的解集W的结构，得到： W是Kn的一个子空间，称为n元齐次线性方程组的解空间.于是，只要找到W的一个基（n元齐次线性方程组的一个基础解系），就对解空间W的结构了如指掌了.一个矩阵A有行向量组也有列向量组.我们证明了阶梯形矩阵J的列向量组的秩与行向量组的秩相等，都等于J的非零行数；接着证明了初等行变换不改变矩阵的行向量组的秩，也不改变矩阵的列向量组的秩.由此得到矩阵A的行向量组的秩等于列向量组的秩，于是把它们统称为A的秩.我们还证明了非零矩阵A的秩等于A的不为0的子式的最高阶数.于是，矩阵A的秩可以从三个角度刻画： A的秩等于A的行向量组的秩，也等于A的列向量组的秩，还等于A的不为0的子式的最高阶数.这表明，矩阵的秩的概念多么深刻！这样讲矩阵的秩这个重要概念是符合“线性代数”课程的主线的.在第五章开头，我们在平面上取一个直角坐标系Oxy，用e→1，e→2分别表示x轴、y轴正向的单位向量，它们构成平面的一个基.我们得出了平面上在x轴上的正投影Px在基e→1，e→2下的矩阵A.设σ是平面上绕点O转角为θ的旋转，e→1，e→2在σ下的像是e→*1，e→*2.我们求出了Px在基e→*1，e→*2下的矩阵是S-1AS，其中S是旋转σ的矩阵.由此引出矩阵相似的概念，指出平面上在x轴上的正投影Px在平面的不同基下的矩阵是相似的.由此进一步指出研究相似的矩阵有哪些性质，在相似的矩阵中有没有最简单的形式，以及如何求矩阵的特征值和特征向量是研究线性变换的最简单形式矩阵表示的基础.研究线性空间结构的途径有： 基和维数，子空间的直和分解，线性空间的同构.我们在第七章§2的定理8中指出： 设V1,V2,…,Vs都是数域K上n维线性空间V的子空间，则V=V1V2…Vs当且仅当V1的一个基、V2的一个基……Vs的一个基合起来是V的一个基.这个结论对于研究n维线性空间的结构起着重要作用.2. 把作者的讲课经验写到教材中.(1) 讲一个重要概念时要抓住三个重点： 第一,这个概念是怎么来的，这时要尽可能通俗易懂地讲；第二,这个概念的含义要准确，这时要透彻地讲；第三，这个概念有什么用，这时要适当作介绍.以第五章§3中矩阵的特征值和特征向量的概念为例.(2) 讲定理时首先讲几何空间中的例子.3. 注重让学生体会解题的最佳思路是运用理论的最新进展.4. 增加了一些重要的定理和命题，并且对书中所有定理和命题都写出了证明.书中打“*”号的定理和命题不作为教学要求，供有兴趣的读者自学.5. 增加了一些重要的例题和习题，并且对书中多数习题给出了较详细的提示或解答.书中打“*”号的例题和习题不作为教学要求，供有兴趣的读者自学.本书可作为高等学校理工类和经管类本、专科“线性代数”课程的教材，又可作为自学考试辅导用书.教师可根据周学时选用本书： 每周4学时，可讲授全书各章； 每周3学时，可讲授前六章.作者感谢本书的责任编辑曾琬婷，她为本书的编辑出版付出了辛勤的劳动.作者热忱欢迎广大读者对本书提出宝贵意见.丘维声于北京大学数学科学学院2024年6月